Statistik & Probabilitas

Statistik & Probabilitas – Teori Peluang (Probabilitas)

2012
03.28

Konsep probabilitas (peluang) mulanya berkembang dari judi, namun demikian dalam perkembangannya mempunyai peranan penting dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari. Menurut BJ Randel:

Probabilitas diartikan sebagai suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat peluang terjadinya kejadian yang random

Suatu proses disebut random, bila hasil proses tersebut tidak dapat ditentukan sebelumnya dengan pasti, dan terjadinyapun tidak dapat ditentukan dengan pasti. Sehingga nilai peluang tersebut hanya dapat dipakai sebagai ukuran untuk memprediksi peluang yang akan terjadi dalam suatu kejadian. (Hifni, 1990)
Nilai Peluang
Apabila suatu event (E) dapat terjadi sebanyak h kali sejumlah n cara peluang yang sama, maka peluang event tersebut dapat terjadi atau tidak dapat ditulis:

Jika Pr(E) ditulis dengan simbol p (dapat terjadi/succeed) dan Pr(bukan E) disimbolkan q (gagal/failure) maka p+q=1
Contoh: bila sebuah dadu dilempar, berapa peluang muncul mata dadu 5?
Jawab: Dadu memiliki 6 sisi, dan masing-masing sisi tertulis nilai 1-6. Maka tiap pelemparan tiap sisi menpunyai nilai peluang yang sama. Berarti ada 6 cara untuk muncul. Harapan munculnya mata dadu 5 adalah 1 dari 6 kejadian tersebut maka peluangnya adalah p=1/6 dan peluang tidak munculnya angka 5 adalah q=1-1/6=5/6.
Analisa Kombinatorial
1. Permutasi
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan ialah penempatan r unsur tersebut dalam suatu urutan (r>n).


2. Kombinasi
Jika permutasi unsur-unsur tersebut disusun tidak mempermasalahkan urutan maka pada kombinasi, urutan pasangan dipermasalahkan.
Persamaan permutasi dan kombinasi:

Distribusi Kemungkinan
Apabila nilai kemungkinan menggambarkan nilai dari suatu kejadian, maka seluruh nilai kejadian dapat digambarkan dengan distribusi tersebut.
Dalam berbagai peristiwa probabilitas yang bersifat independen dan dependen akan mengalamai kesulitan dalam penghitungan jika frekuensi percobaannya cukup banyak (bekali-kali). Apalagi untuk peristiwa yang bersifat independen dengan frekuensi percobaan yang tidak terhingga (tidak terbatas). Untuk menjawab permasalahan tersebut, maka digunakan Distribusi Kemungkinan untuk penyelesaian secara sederhana. Untuk membahas distribusi kemungkinan, terlebih dahulu harus dapat membedakan antara Variabel Diskrit dengan Variabel Kontinyu. Variabel Diskrit merupakan variabel yang mempunyai angka-angka bulat. Misalnya jumlah mahasiswa sebanyak 60 orang, dia pergi ke Jakarta sebanyak 4 kali dan lain-lain. Dalam variabel diskrit berlaku ketentuan X > 5 tidak sama X >= 5. Sedangkan yang dimaksud dengan Variabel Kontinyu adalah suatu variabel yang mempunyai nilai berkesinambungan (antara variabel satu dengan variabel selanjutnya tidak mempunyai jarak). Misalnya panjang jalan itu 25,73 km, perusahaan itu sudah berusia 5 tahun, 8 bulan, 25 hari. Dalam variabel kontinyu berlaku ketentuan X > 5 sama dengan X >= 5. Dengan demikian variabel kontinyu dapat dikatakan mempunyai nilai yang kecilnya tidak terhingga dan besarnya juga tidak terhingga.Dalam bab ini pembahasan distribusi kemungkinan lebih difokuskan pada :

Variabel Diskrit :
Peristiwa Dependen : Distribusi Hipergeometris.
Peristiwa Independen : Distribusi Binomial, Distribusi Multinomial dan Distribusi Poisson.
Variabel Kontinyu :
Peristiwa Independen : Distribusi Normal DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIS

Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yang bersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2, …, xi) = (n1Cx1.n2Cx2 … niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, … xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, …ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap peristiwa; n = n1 + n2 + … + ni; dan x = x1 + x2 + … + xi.

Contoh :

Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam.

Jawab :
X1 = kejadian bola warna merah
X2 = kejadian bola warna hitam
P(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3
DISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung peristiwa-peristiwa yang bersifat independen dengan variabel yang bersifat diskrit. Rumus yang digunakan adalah :